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By Klaus Jänich

Aus den Besprechungen: "Dies ist ein Lehrbuch, wie ich es mir als scholar gew?nscht h?tte: Nahezu jeder Begriff wird vor seiner Einf?hrung ausf?hrlich motiviert, guy findet eine Unmenge (461 St?ck!) von hervorragenden Figuren, jedes Kapitel enth?lt sowohl eine Einleitung, in der skizziert wird, 'wohin der Hase laufen soll', als auch eine R?ckschau mit den wichtigsten Ergebnissen. guy findet reichlich ?bungen (mit L?sungshinweisen) sowie a number of selection checks (mit L?sungen) am Ende jeden Kapitels. Der Stil ist locker und unterhaltsam und unterscheidet sich wohltuend von den ?blichen trockenen Mathematik-Lehrb?chern. Ein hervorragendes Lehrbuch, dessen Lekt?re nicht nur f?r Physiker und Ingenieure n?tzlich, sondern auch f?r Mathematikstudenten eine willkommene Erg?nzung zum 't?glichen Brot' sein d?rfte". #Zentralblatt f?r Mathematik#

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Höhenlinien des Realteils u(z) Figur 42b. Höhenlinien des Imaginärteils v(z) 24 Kap. 11: Analytische Funktionen d. h. man veranschaulicht die reellwertigen Funktionen u(z) = Ref(z) und v(z) = Imf(z) durch ihre Niveaulinien in G. Wenn man dann beide Kurvenscharen übereinanderzeichnet, erhält man ein Netz auf G, mit dessen Hilfe sichf(z) = u(z) + iv(z) jeweils ablesen läßt. 6 Figur 43. Kombination der Höhenkarten von Real- und Imaginärteil zu einer Darstellung von f(z) = u(z) + iv(z) Man kann aber auch etwa den Betrag If(z) lais "Funktionsgebirge" über G darstellen und darauf die "Argument-Linien" einzeichnen.

F' (z) hat denselben Konvergenzkreisring. 0 n= n= E anz n dar. 45 Die -00 '" nanz n- I, und diese Reihe E -00 Was wird aber aus dem Kreisring r < Iz I < R, wenn r ~ R ist? Ja dann ist er leer, und wir haben mit unserer Laurentreihe Pech gehabt. Diesen Fällen werden wir schon aus dem Wege gehen! Ich will nur gleich sagen, daß der weitaus wichtigste Fall der ist, wo r = 0 wird: Hinweis: Konvergiert der Hauptteil überall (außer bei 0, natürlich), dann stellt die Laurentreihe eine analytische Funktion auf der punktierten Kreisscheibe ER \0 dar.

Tanz und tanhz definiert man natürlich als die betreffenden Quotienten, sinz bzw. sinhhz • Sie sind cosz cos z damit definiert und analytisch außerhalb der Nennernullstellen. Die Definitionen von Logarithmus, "Arcus"- und "Area"-Funktionen lassen sich freilich nicht so flott hinschreiben, denn das sollen ja Umkehrfunktionen von eZ, cosz, sinz, cosh z, sinh z sein, und deshalb müßte man erst einmal untersuchen, zwischen welchen Gebieten diese Funktionen konforme Abbildungen stiften. Viele Eigenschaften der reellen elementaren Funktionen übertragen sich sofort auf ihre komplexen Verallgemeinerungen.

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